Geometric phase

Πρότυπο:Short description Στη κλασική και κβαντική μηχανική, γεωμετρική φάση είναι μια διαφορά φάσης που αποκτάται στη διάρκεια ενός κύκλου, όταν ένα σύστημα υποβάλλεται σε κυκλικές αδιαβατικές διεργασίες που προκύπτουν από τις γεωμετρικές ιδιότητες του χώρου παραμέτρων του Hamiltoniano. Το φαινόμενο ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα από τον S. Pancharatnam (1956), στην κλασική οπτική και από τον H. C. Longuet-Higgins (1958) στη φυσική των μορίων. Γενικεύτηκε από τον Michael Berry το (1984). Είναι επίσης γνωστή ως φάση Pancharatnam-Berry, φάση Pancharatnam ή φάση Berry. Μπορεί να παρατηρηθεί στη συνάντηση κωνική των επιφάνειες ποτενσιαλής ενέργειας και στο φαινόμενο Aharonov-Bohm. Η γεωμετρική φάση γύρω από τη συνάντηση κωνική που περιλαμβάνει την κατάσταση ηλεκτρονίων στο βαθμό του μοριακού ιόντος C₆H₃F₃⁺ αναλύεται στις σελίδες 385-386 του σχολικού βιβλίου από τους Bunker και Jensen. Στην περίπτωση του φαινομένου Aharonov-Bohm, η αδιαβατική παράμετρος είναι το μαγνητικό πεδίο που περικλείεται από δύο διαδρομές παρεμβολής, και είναι κυκλικό στην έννοια ότι αυτές οι δύο διαδρομές σχηματίζουν έναν κύκλο. Στην περίπτωση της συνάντησης κωνικής, οι αδιαβατικές παράμετροι είναι οι συντεταγμένες μορίων. Εκτός από την κβαντική μηχανική, εμφανίζεται σε μια ποικιλία άλλων συστημάτων κύματα, όπως η κλασική οπτική. Ως κανόνας, μπορεί να εμφανιστεί όποτε υπάρχουν τουλάχιστον δύο παράμετροι που χαρακτηρίζουν ένα κύμα σε μια κάποια μορφή ιδιαιτερότητας ή τρύπα στην τοπολογία. Δύο παράμετροι απαιτούνται επειδή είτε το σύνολο των μη σιγκολικών καταστάσεων δεν θα είναι απλώς συνδεδεμένο, είτε θα υπάρχει μη μηδενική ολονομία.

Τα κύματα χαρακτηρίζονται από πλάτος και φάση, και μπορεί να ποικίλουν ως συνάρτηση αυτών των παραμέτρων. Η γεωμετρική φάση εμφανίζεται όταν και οι δύο παράμετροι αλλάζουν ταυτόχρονα αλλά πολύ αργά (αδιαβατικά), και τελικά επανέρχονται στην αρχική διάταξη. Στην κβαντική μηχανική, αυτό μπορεί να περιλαμβάνει περιστροφές αλλά και μετακινήσεις των σωματιδίων, που φαίνεται ότι αναιρούνται στο τέλος. Μπορεί κανείς να περιμένει ότι τα κύματα στο σύστημα θα επανέλθουν στην αρχική κατάσταση, όπως χαρακτηρίζονται από τα πλάτη και τις φάσεις (και λαμβάνοντας υπόψη την πάροδο του χρόνου). Ωστόσο, αν οι εκτάσεις των παραμέτρων αντιστοιχούν σε έναν κύκλο αντί για μια αυτο-επιστρεφόμενη προς τα εμπρός και προς τα πίσω ποικιλία, τότε είναι δυνατό οι αρχικές και τελικές καταστάσεις να διαφέρουν στις φάσεις τους. Αυτή η διαφορά φάσης είναι η γεωμετρική φάση, και η εμφάνισή της συνήθως δείχνει ότι η εξάρτηση του συστήματος από τους παραμέτρους είναι μαθηματική ιδιαιτερότητα (η κατάστασή του είναι αοριστοποιημένη) για κάποιον συνδυασμό παραμέτρων.

Για να μετρήσετε τη γεωμετρική φάση σε ένα σύστημα κυμάτων, απαιτείται ένα πείραμα παρεμβολής. Το εκκρεμές του Φουκό είναι ένα παράδειγμα από την κλασική μηχανική που χρησιμοποιείται πολλές φορές για να εξηγήσει τη γεωμετρική φάση. Αυτός ο ανάλογος της μηχανικής για τη γεωμετρική φάση είναι γνωστός ως γωνία Hannay.

Γεωμετρική φάση στην κβαντική μηχανική

Σε ένα κβαντικό σύστημα στην n-οστή ειδική κατάσταση, μια αδιαβατική εξέλιξη του Hamiltoniano διαπιστώνει ότι το σύστημα παραμένει στην n-οστή ειδική κατάσταση του Hamiltoniano, ενώ αποκτά επίσης έναν παράγοντα φάσης. Η φάση που αποκτάται έχει μια συνεισφορά από την χρονική εξέλιξη της κατάστασης και μια άλλη από τη διακύμανση της ειδικής κατάστασης με τον αλλάζοντα Hamiltoniano. Ο δεύτερος όρος αντιστοιχεί στη φάση Berry, και για μη κυκλικές διακυμάνσεις του Hamiltoniano μπορεί να αφαιρεθεί με διαφορετική επιλογή της φάσης που σχετίζεται με τις ειδικές καταστάσεις του Hamiltoniano σε κάθε σημείο της εξέλιξης.

Ωστόσο, αν η διακύμανση είναι κυκλική, η φάση Berry δεν μπορεί να ακυρωθεί. Είναι αμετάβλητη και γίνεται μια παρατηρήσιμη ιδιότητα του συστήματος. Εξετάζοντας την απόδειξη του αδιαβατικού θεωρήματος που δόθηκε από τους Max Born και Vladimir Fock, στο European Physical Journal 51, 165 (1928), μπορούμε να χαρακτηρίσουμε όλη την αλλαγή της αδιαβατικής διεργασίας σε έναν όρο φάσης. Υπό την αδιαβατική προσέγγιση, ο συντελεστής της n-οστής ειδικής κατάστασης κάτω από αδιαβατική διεργασία δίνεται από

$$C_{n}(t)=C_{n}(0)\exp \left[-\int _{0}^{t}\langle \psi _{n}(t')|{\dot {\psi }}_{n}(t')\rangle \,dt'\right]=C_{n}(0)e^{i\gamma _{n}(t)},$$

όπου $\gamma _{n}(t)$ είναι η φάση του Berry σε σχέση με την παράμετρο t. Αλλάζοντας τη μεταβλητή t σε γενικευμένες παραμέτρους, μπορούμε να ξαναγράψουμε τη φάση του Berry σε

$$\gamma _{n}[C]=i\oint _{C}\langle n,t|{\big (}\nabla _{R}|n,t\rangle {\big )}\,dR,$$

όπου $R$ παραμετροποιεί την κυκλική αδιαβατική διεργασία. Σημειώστε ότι η κανονικοποίηση του $|n,t\rangle$ υποδηλώνει ότι το ολοκλήρωμα είναι φανταστικό, έτσι ώστε $\gamma _{n}[C]$ να είναι πραγματικό. Ακολουθεί μια κλειστή διαδρομή $C$ στον κατάλληλο χώρο παραμέτρων. Η γεωμετρική φάση κατά μήκος της κλειστής διαδρομής $C$ μπορεί επίσης να υπολογιστεί ολοκληρώνοντας την καμπύλη του Berry πάνω στην επιφάνεια που περιβάλλεται από το $C$.

Παραδείγματα γεωμετρικών φάσεων

Εκκρεμές του Φουκό

Ένα από τα πιο εύκολα παραδείγματα είναι το εκκρεμές του Φουκό. Μια απλή εξήγηση σε όρους γεωμετρικών φάσεων δίνεται από τους Wilczek και Shapere:

Πρότυπο:Blockquote

Με άλλα λόγια, δεν υπάρχουν αδρανειακές δυνάμεις που μπορούν να κάνουν το εκκρεμές να προχωρήσει, έτσι ώστε η προχώρηση (σε σχέση με την κατεύθυνση κίνησης της διαδρομής κατά μήκος της οποίας μεταφέρεται το εκκρεμές) οφείλεται ολοκληρωτικά στη στροφή αυτής της διαδρομής. Έτσι η προσανατολίση του εκκρεμές υποβάλλεται σε παράλληλη μεταφορά. Για το αρχικό εκκρεμές του Φουκό, η διαδρομή είναι ένας κύκλος του γεωγραφικού πλάτους, και από το θεώρημα Gauss-Bonnet, η φάση μετάθεσης δίνεται από τη στερεά γωνία που περικλείεται.

=Παράγωγο

Πρότυπο:Cleanup merge

Παράλληλη μεταφορά ενός διανύσματος γύρω από έναν κλειστό βρόχο στη σφαίρα: Η γωνία με την οποία στρέφεται, α, είναι ανάλογη με την επιφάνεια μέσα στον βρόχο.

Σε ένα σχεδόν αδρανειακό πλαίσιο που κινείται παράλληλα με τη Γη, αλλά δεν μοιράζεται την περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της, το σημείο κρέμασης του εκκρεμούς σχηματίζει έναν κυκλικό βρόχο κατά τη διάρκεια μιας αστρονομικής ημέρας.

Στο γεωγραφικό πλάτος του Παρισιού, 48 μοίρες 51 λεπτά βόρεια, ένας πλήρης κύκλος προχώρησης διαρκεί λίγο περισσότερο από 32 ώρες, έτσι ώστε μετά από μια αστρονομική ημέρα, όταν η Γη είναι πάλι στην ίδια προσανατολίστική θέση όπως μια αστρονομική ημέρα πριν, το επίπεδο ταλαντώσεων έχει στραφεί λίγο περισσότερο από 270 μοίρες. Αν το επίπεδο ταλάντωσης ήταν βόρειο-νότιο στην αρχή, είναι ανατολικά-δυτικά μια αστρονομική ημέρα αργότερα.

Αυτό υποδηλώνει επίσης ότι υπήρξε ανταλλαγή ορμής. Η Γη και η μπούλα του εκκρεμούς έχουν ανταλλάξει ορμή. Η Γη είναι τόσο πολύ πιο μαζική από τη μπούλα του εκκρεμούς που η αλλαγή ορμής της Γης είναι απαρατήρητη. Παρ' όλα αυτά, επειδή το επίπεδο ταλάντωσης της μπούλας του εκκρεμούς έχει μετατοπιστεί, οι νόμοι συντήρησης υποδηλώνουν ότι πρέπει να έχει γίνει ανταλλαγή.

Αντί να παρακολουθούμε την αλλαγή της ορμής, η προχώρηση του επιπέδου ταλάντωσης μπορεί να περιγραφεί αποτελεσματικά ως περίπτωση παράλληλης μεταφοράς. Για αυτό, μπορεί να αποδειχθεί, συνθέτοντας τις απειροελάχιστες περιστροφές, ότι ο ρυθμός προχώρησης είναι ανάλογος με την προβολή της γωνιακής ταχύτητας της Γης στην κανονική κατεύθυνση προς τη Γη, το οποίο υποδηλώνει ότι το ίχνος του επιπέδου ταλάντωσης θα υποστεί παράλληλη μεταφορά. Μετά από 24 ώρες, η διαφορά μεταξύ των αρχικών και τελικών προσανατολισμών του ίχνους στο πλαίσιο της Γης είναι α = −2π sin φ, το οποίο αντιστοιχεί στην τιμή που δίνεται από το θεώρημα Gauss-Bonnet. α ονομάζεται επίσης ολονομία ή γεωμετρική φάση του εκκρεμούς. Όταν αναλύουμε κινήσεις προσδεδεμένες στη Γη, το πλαίσιο της Γης δεν είναι αδρανειακό πλαίσιο, αλλά περιστρέφεται γύρω από την τοπική κάθετη με ενεργό ρυθμό των 2π sin φ ακτίνων ανά ημέρα. Μια απλή μέθοδος που χρησιμοποιεί παράλληλη μεταφορά μέσα σε κώνους εφαπτόμενους στην επιφάνεια της Γης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει τη γωνία περιστροφής του επιπέδου ταλάντωσης του εκκρεμούς του Φουκό.

Από την σκοπιά ενός συστήματος συντεταγμένων προσδεδεμένο στη Γη (ο κύκλος μέτρησης και ο θεατής είναι προσδεδεμένοι στη Γη, ακόμη και αν η αντίδραση του εδάφους στη δύναμη Κοριόλις δεν αντιλαμβάνεται από τον θεατή όταν κινείται), χρησιμοποιώντας ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων με τον άξονα του x να δείχνει ανατολικά και τον άξονα του y να δείχνει βόρεια, η προχώρηση του εκκρεμούς οφείλεται στη δύναμη Κοριόλις (άλλες φανταστικές δυνάμεις όπως η βαρύτητα και η κεντροφυγική δύναμη δεν έχουν άμεσο συστατικό προχώρησης, η δύναμη Όιλερ είναι χαμηλή επειδή η ταχύτητα περιστροφής της Γης είναι σχεδόν σταθερή). Ας υποθέσουμε ένα επιπλανή εκκρεμές με σταθερή φυσική συχνότητα ω στην προσέγγιση μικρής γωνίας. Υπάρχουν δύο δυνάμεις που δρουν στη μπούλα του εκκρεμούς: η αποκαθιστωτική δύναμη που παρέχεται από τη βαρύτητα και το σχοινί, και η δύναμη Κοριόλις (η κεντροφυγική δύναμη, αντίθετη στην αποκαθιστωτική βαρυτική δύναμη, μπορεί να αγνοηθεί). Η δύναμη Κοριόλις στο γεωγραφικό πλάτος φ είναι οριζόντια στην προσέγγιση μικρής γωνίας και δίνεται από

$${\begin{aligned}F_{{\text{c}},x}&=2m\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\F_{{\text{c}},y}&=-2m\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi ,\end{aligned}}$$

όπου Ω είναι η συχνότητα περιστροφής της Γης, F_c,x είναι το συστατικό της δύναμης Κοριόλις στην κατεύθυνση x, και F_c,y είναι το συστατικό της δύναμης Κοριόλις στην κατεύθυνση y.

Η αποκαθιστωτική δύναμη, στην προσέγγιση μικρής γωνίας και αγνοώντας την κεντροφυγική δύναμη, δίνεται από

$${\begin{aligned}F_{g,x}&=-m\omega ^{2}x,\\F_{g,y}&=-m\omega ^{2}y.\end{aligned}}$$

Γραφήματα περίοδου προχώρησης και προχώρησης ανά αστρονομική ημέρα έναντι γεωγραφικού πλάτους. Το πρόσημο αλλάζει καθώς ένα εκκρεμές του Φουκό περιστρέφεται αντίθετα με τα δεξιά στο Νότιο Ημισφαίριο και με τα δεξιά στο Βόρειο Ημισφαίριο. Το παράδειγμα δείχνει ότι ένα στο Παρίσι προχωρά 271° κάθε αστρονομική ημέρα, χρειάζεται 31.8 ώρες ανά περιστροφή.

Χρησιμοποιώντας τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα, αυτό οδηγεί στο σύστημα εξισώσεων

$${\begin{aligned}{\dfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}x+2\Omega {\dfrac {dy}{dt}}\sin \varphi ,\\{\dfrac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=-\omega ^{2}y-2\Omega {\dfrac {dx}{dt}}\sin \varphi .\end{aligned}}$$

Αλλάζοντας σε συμπλεγματικές συντεταγμένες z = x + iy, οι εξισώσεις γίνονται

$${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+2i\Omega {\frac {dz}{dt}}\sin \varphi +\omega ^{2}z=0.$$

Σε πρώτη τάξη στο Πρότυπο:Sfrac, αυτή η εξίσωση έχει τη λύση

$$z=e^{-i\Omega \sin \varphi t}\left(c_{1}e^{i\omega t}+c_{2}e^{-i\omega t}\right).$$

Αν ο χρόνος μετριέται σε ημέρες, τότε Ω = 2π και το εκκρεμές περιστρέφεται κατά μια γωνία των −2π sin φ κατά τη διάρκεια μιας ημέρας.

Πολωμένο φως σε οπτική ίνα

Πρότυπο:Unreferenced section

Ένα δεύτερο παράδειγμα είναι το γραμμικά πολωμένο φως που εισέρχεται σε μια μονομόδα οπτική ίνα. Ας υποθέσουμε ότι η ίνα ακολουθεί κάποια πορεία στο χώρο, και το φως εξέρχεται από την ίνα στην ίδια κατεύθυνση με αυτή που μπήκε. Τότε συγκρίνουμε τις αρχικές και τελικές πολωμένες. Σε ημικλασική προσέγγιση η ίνα λειτουργεί ως κυματοδρόμος, και η ορμή του φωτός είναι πάντα εφάπτομενη στην ίνα. Η πολωμένη μπορεί να θεωρηθεί ως μια προσανατολίσμος κάθετη στην ορμή. Καθώς η ίνα ακολουθεί την πορεία της, το διάνυσμα ορμής του φωτός ακολουθεί μια πορεία στη σφαίρα στον χώρο ορμής. Η πορεία είναι κλειστή, 既 οι αρχικές και τελικές κατευθύνσεις του φωτός συμπίπτουν, και η πολωμένη είναι ένα διάνυσμα εφαπτόμενο στη σφαίρα. Η πορεία στον χώρο ορμής είναι ισοδύναμη με την λήψη του χάρτη του Gauss. Δεν υπάρχουν δυνάμεις που θα μπορούσαν να κάνουν την πολωμένη να στρέψει, μόνο ο περιορισμός να παραμείνει εφαπτόμενη στη σφαίρα. Έτσι η πολωμένη υποβάλλεται σε παράλληλη μεταφορά, και η φάση μετάθεσης δίνεται από τη στερεά γωνία που περικλείεται (επί το πλήθος της στροφής, το οποίο στην περίπτωση του φωτός είναι 1).

Στοχαστικό αντλητικό αποτέλεσμα

Ένα στοχαστικό αντλητικό είναι ένα κλασικό στοχαστικό σύστημα που ανταποκρίνεται με μη μηδενικά ρεύματα, μέσο όρο, σε περιοδικές αλλαγές παραμέτρων. Το στοχαστικό αντλητικό αποτέλεσμα μπορεί να ερμηνευθεί σε όρους γεωμετρικής φάσης στην εξέλιξη της συνάρτησης παραγωγής στοχαστικών ρευμάτων.

Spin 1/2

Η γεωμετρική φάση μπορεί να υπολογιστεί ακριβώς για ένα σωματίδιο με σπίν Πρότυπο:1/2 σε ένα μαγνητικό πεδίο.

Γεωμετρική φάση που ορίζεται σε έλκυστρα

Ενώ η αρχική διατύπωση του Berry ορίστηκε για γραμμικά συστήματα Hamiltoniano, σύντομα αναγνωρίστηκε από τους Ning και Haken ότι παρόμοια γεωμετρική φάση μπορεί να οριστεί για τελείως διαφορετικά συστήματα, όπως μη γραμμικά διασπαστικά συστήματα που διαθέτουν κάποια κυκλικά έλκυστρα. Δείξαν ότι τέτοια κυκλικά έλκυστρα υπάρχουν σε μια κατηγορία μη γραμμικών διασπαστικών συστημάτων με κάποιες συμμετρίες. Υπάρχουν πολλά σημαντικά στοιχεία αυτής της γενίκευσης της φάσης του Berry: 1) Αντί για τον χώρο παραμέτρων για την αρχική φάση του Berry, αυτή η γενίκευση των Ning-Haken ορίζεται στον χώρο φάσης. 2) Αντί για την αδιαβατική εξέλιξη σε κβαντικό μηχανικό σύστημα, η εξέλιξη του συστήματος στον χώρο φάσης δεν χρειάζεται να είναι αδιαβατική. Δεν υπάρχει περιορισμός στην κλίμακα χρόνου της χρονικής εξέλιξης. 3) Αντί για ένα Hermitian σύστημα ή μη Hermitian σύστημα με γραμμική εξασθένιση, τα συστήματα μπορεί να είναι γενικά μη γραμμικά και μη Hermitian.

Εκθέσεις σε διαστάσεις αδιαβατικών ποτενσιαλών επιφανειών μορίων

Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να υπολογιστεί η γεωμετρική φάση στα μόρια μέσα στο πλαίσιο Born-Oppenheimer. Ένας τρόπος είναι μέσω του "[[μη αδιαβατικού συνδετικού πίνακα $M\times M$]]" που ορίζεται από

$$\tau _{ij}^{\mu }=\langle \psi _{i}|\partial ^{\mu }\psi _{j}\rangle ,$$

όπου $\psi _{i}$ είναι η αδιαβατική ηλεκτρονική κυματοσυνάρτηση, που εξαρτάται από τις πυρηνικές παράμετρους $R_{\mu }$. Το μη αδιαβατικό σύνδεσμο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να οριστεί ένα ολοκλήρωμα βρόχου, ανάλογο με ένα βρόχο Wilson (1974) στη θεωρία πεδίου, που αναπτύχθηκε ανεξάρτητα για το μοριακό πλαίσιο από τον M. Baer (1975, 1980, 2000). Δεδομένου ενός κλειστού βρόχου Γ, παραμετροποιημένου από $R_{\mu }(t),$ όπου $t\in [0,1]$ είναι μια παράμετρος, και $R_{\mu }(t+1)=R_{\mu }(t)$. Ο πίνακας D δίνεται από

$$D[\Gamma ]={\hat {P}}e^{\oint _{\Gamma }\tau ^{\mu }\,dR_{\mu }}$$

(εδώ ${\hat {P}}$ είναι ένα σύμβολο διατάξεων διαδρομής). Μπορεί να αποδειχθεί ότι μόλις το M είναι αρκετά μεγάλο (δηλαδή, ένας επαρκής αριθμός ηλεκτρονικών καταστάσεων λαμβάνεται υπόψη), αυτός ο πίνακας είναι διαγώνιος, με τα διαγώνια στοιχεία να είναι ίσα με $e^{i\beta _{j}},$ όπου $\beta _{j}$ είναι οι γεωμετρικές φάσεις που σχετίζονται με τον βρόχο για την j-οστή αδιαβατική ηλεκτρονική κατάσταση.

Για χρονικά συμμετρικά ηλεκτρονικά Hamiltoniana η γεωμετρική φάση αντανακλά τον αριθμό των κωνικών διαστάσεων που περιβάλλονται από τον βρόχο. Πιο ακριβώς,

$$e^{i\beta _{j}}=(-1)^{N_{j}},$$

όπου $N_{j}$ είναι ο αριθμός των κωνικών διαστάσεων που περιλαμβάνουν την αδιαβατική κατάσταση $\psi _{j}$ που περιβάλλεται από τον βρόχο $\Gamma .$

Μια εναλλακτική προσέγγιση της μεθόδου D-πίνακα θα ήταν μια άμεση υπολογισμός της φάσης Pancharatnam. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο αν σας ενδιαφέρει μόνο η γεωμετρική φάση μιας μόνο αδιαβατικής κατάστασης. Σε αυτήν την προσέγγιση, λαμβάνεται ένας αριθμός $N+1$ σημείων $(n=0,\dots ,N)$ κατά μήκος του βρόχου $R(t_{n})$ με $t_{0}=0$ και $t_{N}=1,$ τότε χρησιμοποιώντας μόνο την j-οστή αδιαβατική κατάσταση $\psi _{j}[R(t_{n})]$ υπολογίζεται το γινόμενο Pancharatnam των επικαλύψεων:

$$I_{j}(\Gamma ,N)=\prod \limits _{n=0}^{N-1}\langle \psi _{j}[R(t_{n})]|\psi _{j}[R(t_{n+1})]\rangle .$$

Στο όριο $N\to \infty$ έχουμε (βλ. Ryb & Baer 2004 για εξήγηση και κάποιες εφαρμογές)

$$I_{j}(\Gamma ,N)\to e^{i\beta _{j}}.$$

Γεωμετρική φάση και κβαντισμός κινήσεων κυκλοτρονίου

Ένα ηλεκτρόνιο που υποβάλλεται σε μαγνητικό πεδίο $B$ κινείται σε κυκλική (κυκλοτρονική) τροχιά. Κλασικά, οποιαδήποτε ακτίνα κυκλοτρονίου $R_{c}$ είναι αποδεκτή. Κβαντικά, μόνο διακριτά επίπεδα ενέργειας (επίπεδα Landau) επιτρέπονται, και επειδή $R_{c}$ σχετίζεται με την ενέργεια του ηλεκτρονίου, αυτό αντιστοιχεί σε κβαντισμένες τιμές του $R_{c}$. Η συνθήκη κβάντωσης ενέργειας που λαμβάνεται από την επίλυση της εξίσωσης Schrödinger δίνει, για παράδειγμα, $E=(n+\alpha )\hbar \omega _{c},$ $\alpha =1/2$ για ελεύθερα ηλεκτρόνια (στο κενό) ή ${\textstyle E=v{\sqrt {2(n+\alpha )eB\hbar }},\quad \alpha =0}$ για ηλεκτρόνια στο γραφένιο, όπου $n=0,1,2,\ldots$. Παρόλο που η παράγωγη αυτών των αποτελεσμάτων δεν είναι δύσκολη, υπάρχει ένας εναλλακτικός τρόπος παράγωγής τους, ο οποίος προσφέρει σε κάποιες περιπτώσεις καλύτερη φυσική κατανόηση στον κβαντισμό των επιπέδων Landau. Αυτή η εναλλακτική μέθοδος βασίζεται στη συνδυαστική κβάντωση κατά το μοντέλο του Bohr-Sommerfeld

$$\hbar \oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {k} -e\oint d\mathbf {r} \cdot \mathbf {A} +\hbar \gamma =2\pi \hbar (n+1/2),$$

η οποία περιλαμβάνει τη γεωμετρική φάση $\gamma$ που συλλέγεται από το ηλεκτρόνιο ενώ εκτελεί την (πραγματική χώρα) κίνησή του κατά μήκος του κλειστού βρόχου της κυκλοτρονικής τροχιάς. Για ελεύθερα ηλεκτρόνια, $\gamma =0,$ ενώ $\gamma =\pi$ για ηλεκτρόνια στο γραφένιο. Διαπιστώνεται ότι η γεωμετρική φάση συνδέεται απευθείας με το $\alpha =1/2$ των ελεύθερων ηλεκτρονίων και $\alpha =0$ των ηλεκτρονίων στο γραφένιο.

Δείτε επίσης

• Τενσόρας καμπυλότητας Riemann – για τη σύνδεση με τα μαθηματικά
• Σύνδεση και καμπυλότητα του Berry
• Τάξη Chern
• Οπτική περιστροφή
• Αριθμός τυλίγματος

Σημειώσεις

^ Για απλότητα, εξετάζουμε ηλεκτρόνια που περιορίζονται σε ένα επίπεδο, όπως 2DEG και μαγνητικό πεδίο κάθετο στο επίπεδο.

^ $\omega _{c}=eB/m$ είναι η κυκλοτρονική συχνότητα (για ελεύθερα ηλεκτρόνια) και $v$ είναι η συχνότητα Fermi (των ηλεκτρονίων στο γραφένιο).

Πηγές

• Jeeva Anandan; Joy Christian; Kazimir Wanelik (1997). «Resource Letter GPP-1: Geometric Phases in Physics». Am. J. Phys. 65 (3): 180. doi:10.1119/1.18570. Bibcode: 1997AmJPh..65..180A. 
• Cantoni, V.; Mistrangioli, L. (1992). «Three-point phase, symplectic measure, and Berry phase». International Journal of Theoretical Physics 31 (6): 937. doi:10.1007/BF00675086. Bibcode: 1992IJTP...31..937C. 
• (Βλέπε κεφάλαιο 13 για μια μαθηματική ανάλυση)
• Συνδέσεις με άλλα φυσικά φαινόμενα (όπως το φαινόμενο Jahn-Teller) αναλύονται εδώ: Γεωμετρική φάση του Berry: μια αναθεώρηση
• Το άρθρο του καθηγητή Galvez στο Colgate University, που περιγράφει τη Γεωμετρική Φάση στην Οπτική: Εφαρμογές της Γεωμετρικής Φάσης στην Οπτική Αρχειοθετήθηκε 2007-08-24 στο Wayback Machine.
• Surya Ganguli, Δεσμές και Θεωρίες Γκέιτζ στην Κλασική Φυσική: Μια Ενοποιημένη Περιγραφή Καταρρακτώμενων Γατών, Μαγνητικών Μονοπόλων και Φάσης του Berry
• Robert Batterman, Καταρρακτώμενες Γάτες, Παράλληλη Στάθμευση, και Πολωμένο Φως
• Baer, M. (1975). «Αντιπροσωπείες αδιαβατικές και διαβατικές για συγκρούσεις ατόμου-μορίου: Μεταχείριση της κολινειακής διάταξης». Chemical Physics Letters 35 (1): 112–118. doi:10.1016/0009-2614(75)85599-0. Bibcode: 1975CPL....35..112B. 
• M. Baer, Μη αδιαβατικές ηλεκτρονικές μεταβάσεις: Υπολογισμός του γενικού πίνακα μετασχηματισμού αδιαβατικού-διαβατικού, Mol. Phys. 40, 1011 (1980);
• M. Baer, Υπάρξεις διαβατικών δυναμικών και ο κβαντισμός του μη αδιαβατικού πίνακα, J. Phys. Chem. A 104, 3181–3184 (2000).
• Ryb, I; Baer, R (2004). «Κομβιολογικοί αμετάβλητοι και συμβάντα ως εργαλεία για κωνικές διαστάσεις». The Journal of Chemical Physics 121 (21): 10370–5. doi:10.1063/1.1808695. PMID 15549915. Bibcode: 2004JChPh.12110370R. 
• C. Z. Ning, H. Haken (1992). «Γεωμετρική φάση και συσσωρεύσεις πλάτους σε διασπαστικά συστήματα με κυκλικά έλκυστρα». Phys. Rev. Lett. 68 (14): 2109–2122. doi:10.1103/PhysRevLett.68.2109. PMID 10045311. Bibcode: 1992PhRvL..68.2109N. 
• C. Z. Ning, H. Haken (1992). «Η γεωμετρική φάση σε μη γραμμικά διασπαστικά συστήματα». Mod. Phys. Lett. B 6 (25): 1541–1568. doi:10.1142/S0217984992001265. Bibcode: 1992MPLB....6.1541N. 

Περαιτέρω ανάγνωση

• Michael V. Berry, Η γεωμετρική φάση, Scientific American 259 (6) (1988), 26–34.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Πρότυπο:Wikiquote-inline

---

 Facebook Page

🐤 Twitter Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• Geometric phase in English