Elias omega coding

Αρχείο:Elias omega coding.png

Εικόνα για την κωδικοποίηση Elias ω

Η κωδικοποίηση Elias ω ή κωδικοποίηση Elias omega είναι ένας καθολικός κώδικας για την κωδικοποίηση θετικών ακεραίων αριθμών που αναπτύχθηκε από τον Peter Elias. Όπως η Elias gamma coding και η Elias delta coding, λειτουργεί προσθέτοντας ένα αντιπροσωπευτικό της τάξης μεγέθους του θετικού ακεραίου σε έναν καθολικό κώδικα. Ωστόσο, σε αντίθεση με τους άλλους δύο κώδικες, ο κώδικας Elias omega κωδικοποιεί το πρόθεμά της με αναδρομικό τρόπο; επομένως, ονομάζονται μερικές φορές αναδρομικοί κώδικες Elias.

Η κωδικοποίηση omega χρησιμοποιείται σε εφαρμογές όπου η μεγαλύτερη κωδικοποιημένη τιμή δεν είναι γνωστή από πριν ή για την συμπίεση δεδομένων στα οποία οι μικρές τιμές είναι πολύ πιο συχνές από τις μεγάλες τιμές.

Για να κωδικοποιήσεις έναν θετικό ακέραιο N:

1. Τοποθέτησε ένα "0" στο τέλος του κώδικα.
2. Αν N = 1, σταμάτησε; η κωδικοποίηση έχει ολοκληρωθεί.
3. Προσθέσε τη δυαδική αντιπροσώπευση του N στην αρχή του κώδικα. Θα είναι τουλάχιστον δύο bits, το πρώτο από τα οποία είναι ένα 1.
4. Ορίσε το N ίσο με τον αριθμό των bits που μόλις προστέθηκαν, μείον ένα.
5. Επιστρέψε στο Βήμα 2 για να προσθέσεις την κωδικοποίηση του νέου N.

Για να αποκωδικοποιήσεις έναν θετικό ακέραιο που έχει κωδικοποιηθεί με Elias omega:

1. Ξεκίνησε με μία μεταβλητή N, που έχει τιμή 1.
2. Αν το επόμενο bit είναι "0" τότε σταμάτησε. Η αποκωδικοποιημένη τιμή είναι N.
3. Αν το επόμενο bit είναι "1" τότε διάβασε αυτό και άλλα N bits και χρησιμοποίησε τον δυαδικό αυτόν αριθμό ως τη νέα τιμή του N. Επιστρέψε στο Βήμα 2.

Παραδείγματα

Οι κώδικες omega μπορούν να θεωρηθούν ως ένας αριθμός "ομάδων". Μία ομάδα είναι είτε ένα μοναδικό bit "0", που τερματίζει τον κώδικα, είτε δύο ή περισσότερα bits που ξεκινούν με 1, τα οποία ακολουθούνται από μία άλλη ομάδα.

Οι πρώτοι λίγοι κώδικες παρουσιάζονται παρακάτω. Περιλαμβάνονται και οι λεγόμενες υπονοούμενες κατανομές, που περιγράφουν την κατανομή των τιμών για τις οποίες αυτή η κωδικοποίηση παράγει έναν κώδικα μικρότερου μεγέθους; βλέπε Σχέση των καθολικών κώδικων με την πρακτική συμπίεση για περισσότερες πληροφορίες.

Τιμή	Κώδικας	Υπονοούμενη πιθανότητα
1	0	1/2
2	10 0	1/8
3	11 0	1/8
4	10 100 0	1/64
5	10 101 0	1/64
6	10 110 0	1/64
7	10 111 0	1/64
8	11 1000 0	1/128
9	11 1001 0	1/128
10	11 1010 0	1/128
11	11 1011 0	1/128
12	11 1100 0	1/128
13	11 1101 0	1/128
14	11 1110 0	1/128
15	11 1111 0	1/128
16	10 100 10000 0	1/2048
17	10 100 10001 0	1/2048
...
100	10 110 1100100 0	1/8192
1000	11 1001 1111101000 0	1/131,072
10,000	11 1101 10011100010000 0	1/2,097,152
100,000	10 100 10000 11000011010100000 0	1/268,435,456
1,000,000	10 100 10011 11110100001001000000 0	1/2,147,483,648

Η κωδικοποίηση για το 1 googol, 10¹⁰⁰, είναι 11 1000 101001100 (15 bits μήκους κεφαλίδας) ακολουθούμενο από την 333-bit δυαδική αντιπροσώπευση του 1 googol, που είναι 10010 01001001 10101101 00100101 10010100 11000011 01111100 11101011 00001011 00100111 10000100 11000100 11001110 00001011 11110011 10001010 11001110 01000000 10001110 00100001 00011010 01111100 10101010 10110010 01000011 00001000 10101000 00101110 10001111 00010000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 00000000 και ένα τελικό 0, για συνολικά 349 bits.

Ένα googol στην εκατοστή δύναμη (10¹⁰⁰⁰⁰) είναι ένας δυαδικός αριθμός 33,220 bits. Η κωδικοποίηση του omega είναι 33,243 bits μήκους: 11 1111 1000000111000100 (22 bits), ακολουθούμενα από 33,220 bits της τιμής και ένα τελικό 0. Κάτω από Elias delta coding, ο ίδιος αριθμός είναι 33,250 bits μήκους: 000000000000000 1000000111000100 (31 bits) ακολουθούμενα από 33,219 bits της τιμής. Οι κωδικοποιήσεις omega και delta είναι, αντίστοιχα, 0.07% και 0.09% μεγαλύτερες από την κανονική δυαδική αναπαράσταση 33,220 bits του αριθμού.

Μήκος κώδικα

Για την κωδικοποίηση ενός θετικού ακεραίου N, ο αριθμός των απαιτούμενων bits, B(N), είναι αναδρομικός:

$${\begin{aligned}B(0)&=0\,,\\B(N)&=1+\lfloor \log _{2}(N)\rfloor +B(\lfloor \log _{2}(N)\rfloor )\,.\end{aligned}}$$

Δηλαδή, το μήκος του κώδικα Elias omega για τον ακέραιο $N$ είναι

$$1+(1+\lfloor \log _{2}N\rfloor {})+(1+\lfloor \log _{2}\lfloor \log _{2}N\rfloor {}\rfloor {})+\cdots$$

όπου ο αριθμός των όρων στο άθροισμα περιορίζεται από πάνω από τον δυαδικό επαναληπτικό λογάριθμο. Για να είμαστε ακριβείς, ας ορίσουμε $f(x)=\lfloor \log _{2}x\rfloor {}$. Έχουμε $N>f(N)>f(f(N))>\cdots >f^{k}(N)=1$ για κάποιο $k$, και το μήκος του κώδικα είναι $(k+1)+f(N)+f^{2}(N)+\dots +f^{k}(N)$. Επειδή $f(x)\leq \log _{2}x$, έχουμε $k\leq \log _{2}^{*}(N)$.

Επειδή ο επαναληπτικός λογάριθμος αυξάνεται αργότερα από όλα $\log _{2}^{n}N$ για οποιοδήποτε σταθερό $n$, η ασυμπτωτική ρυθμίση αυξήσεως είναι $\Theta (\log _{2}N+\log _{2}^{2}N+\cdots )$, όπου το άθροισμα τερματίζεται όταν πέφτει κάτω από το ένα.

Ασυμπτωτική ολοκλήρωση

Η κωδικοποίηση Elias omega είναι ένας ασυμπτωτικά ολοκληρωμένος πρόθετος κώδικας.

Σχεδίαση απόδειξης. Ένας πρόθετος κώδικας πρέπει να ικανοποιεί την ισότητα Kraft. Για την κωδικοποίηση Elias omega, η ισότητα Kraft λέει

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{O(1)+\log _{2}n+\log _{2}\log _{2}n+\cdots }}}\leq 1$$

Τώρα, το άθροισμα είναι ασυμπτωτικά το ίδιο με ένα ολοκλήρωμα, δίνοντάς μας

$$\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x\times \ln x\times \ln \ln x\cdots }}\leq O(1)$$

Αν ο παρονομαστής τερματίζεται σε κάποιο σημείο $\ln ^{k}x$, τότε το ολοκλήρωμα διαφεύγει ως $\ln ^{k+1}\infty$. Ωστόσο, αν ο παρονομαστής τερματίζεται σε κάποιο σημείο $(\ln ^{k}x)^{1+\epsilon }$, τότε το ολοκλήρωμα συγκλίνει ως ${\frac {1}{(\ln ^{k}\infty )^{\epsilon }}}$. Η κωδικοποίηση Elias omega είναι στην άκρη μεταξύ διαφυγής και σύγκλισης.

Παράδειγμα κώδικα

Κωδικοποίηση

void eliasOmegaEncode(char* source, char* dest)
{
    IntReader intreader(source);
    BitWriter bitwriter(dest);
    while (intreader.hasLeft())
    {
        int num = intreader.getInt();
        BitStack bits;
        while (num > 1) {
            int len = 0;
            for (int temp = num; temp > 0; temp >>= 1)  // calculate 1+floor(log2(num))
                len++;
            for (int i = 0; i < len; i++)
                bits.pushBit((num >> i) & 1);
            num = len - 1;
        }
        while (bits.length() > 0)
            bitwriter.putBit(bits.popBit());
        bitwriter.putBit(false);                        // write one zero
    }
    bitwriter.close();
    intreader.close();
}

Αποκωδικοποίηση

void eliasOmegaDecode(char* source, char* dest) {
    BitReader bitreader(source);
    IntWriter intwriter(dest);
    while (bitreader.hasLeft())
    {
        int num = 1;
        while (bitreader.inputBit())     // potentially dangerous with malformed files.
        {
            int len = num;
            num = 1;
            for (int i = 0; i < len; ++i)
            {
                num <<= 1;
                if (bitreader.inputBit())
                    num |= 1;
            }
        }
        intwriter.putInt(num);           // write out the value
    }
    bitreader.close();
    intwriter.close();
}

Γενικεύσεις

Δείτε επίσης: Variable-length quantity#Zigzag encoding

Η κωδικοποίηση Elias omega δεν κωδικοποιεί το μηδέν ή αρνητικούς ακεραίους. Ένας τρόπος για να κωδικοποιήσεις όλους τους μη αρνητικούς ακεραίους είναι να προσθέσεις 1 πριν από την κωδικοποίηση και μετά να αφαιρέσεις 1 μετά την αποκωδικοποίηση, ή να χρησιμοποιήσεις τη πολύ παρόμοια Levenshtein coding. Ένας τρόπος για να κωδικοποιήσεις όλους τους ακεραίους είναι να δημιουργήσεις μία bijection, αντιστοιχίζοντας όλους τους ακεραίους (0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...) σε αυστηρά θετικούς ακεραίους (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) πριν από την κωδικοποίηση.

Δείτε επίσης

• Elias delta (δ) coding
• Elias gamma (γ) coding
• Even-Rodeh coding

Περαιτέρω ανάγνωση

• «Universal codeword sets and representations of the integers». IEEE Transactions on Information Theory 21 (2): 194–203. March 1975. doi:10.1109/tit.1975.1055349. 
• Sayood, Khalid, επιμ. (2003). «Lossless Compression Handbook». Lossless Compression Handbook. New York, NY, USA: Academic Press, σσ. 55–78. doi:10.1016/B978-012620861-0/50004-8. ISBN 978-0123907547. 

• Υλοποίηση στην Python

---

 Facebook Page

🐤 Twitter Follow us on Twitter !

Read or create/edit this page in another language

• Elias omega coding in English