Ιδεώδες (μαθηματικά)

Στη θεωρία δακτυλίων ιδεώδες είναι ένα ειδικό υποσύνολο του δακτυλίου.Πρότυπο:Επιστημονικό πεδίο

Ορισμός[επεξεργασία]

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $I$ ένα μη κενό υποσύνολο αυτού. Το $I$ θα ονομάζεται δίπλευρο ιδεώδες (ή απλώς ιδεώδες, αγγλικά: Ιdeal) του R και θα συμβολίζoυμε ως $I\triangleleft {\mathcal {R}}$ αν ισχύουν τα εξής:

$a-b\in I$ για κάθε $a,b\in I$ , δηλαδή το $I$ αποτελεί ομάδα ως προς την πρόσθεση του δακτυλίου

$r\cdot a\in I$ και $a\cdot r\in I$ , για κάθε $r\in {\mathcal {R}},a\in I$
Υπάρχει $a\neq 0$ στο $I$
Υπάρχει $d\neq 0$ στο ${\mathcal {R}}$ τέτοιο ώστε να ισχύει $dI\subset {\mathcal {R}}$

Από την τρίτη ιδιότητα, προκύπτει ότι κάθε ιδεώδες $I$ του δακτυλίου είναι διάφορο του συνόλου ${\mathcal {R}}$ . Στη γενική θεωρία των ιδεώδων και το σύνολο ${\mathcal {R}}$ αποτελεί ιδεώδες.

Μεγιστικό ιδεώδες[επεξεργασία]

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$ ) δακτύλιος και $M\neq {\mathcal {R}}$ ένα ιδεώδες του. Το Μ καλείται μεγιστικό ιδεώδες (αγγλικά: maximal ideal) αν για κάθε $I\triangleleft R$ με $M\subset I\subset {\mathcal {R}}$ έπεται ότι $I=M$ ή $I={\mathcal {R}}$ .^[1]

Πρώτο Ιδεώδες[επεξεργασία]

Έστω $({\mathcal {R}},+,\cdot$ ) δακτύλιος και ${\mathcal {P}}\neq {\mathcal {R}}$ ένα ιδεώδες του. Το ${\mathcal {P}}$ θα καλείται πρώτο ιδεώδες (αγγλικά: prime ideal) αν ικανοποιεί την εξής ιδιότητα:

Αν $ab\in {\mathcal {P}}$ τότε είτε $a\in {\mathcal {P}}$ είτε $b\in {\mathcal {P}}$ .

Προκύπτει ότι κάθε μεγιστικό ιδεώδες του ${\mathcal {R}}$ είναι πρώτο.

Παραδείγματα[επεξεργασία]

Έστω R δακτύλιος. Τότε δύο ιδεώδη αυτού είναι ο εαυτός του καθώς επίσης και το μονοσύνολο $\{0_{R}\}$

Έστω $F:R\rightarrow S$ ένας ομομορφισμός δακτυλίων. Τότε ο πυρήνας αυτού είναι ένα ιδεώδες.

Το σύνολο $\{ra;r\in R\}$ είναι ένα ιδεώδες του $R$ που περιέχει το $a$ .Το ιδεώδες αυτό καλείται κύριο και συμβολίζεται με $<a>$ .

Έστω p ένας πρώτος αριθμός. Τότε το ιδεώδες $<p>$ του $\mathbb {Z}$ είναι πρώτο και μέγιστο.

Παραπομπές[επεξεργασία]

↑ See Script error: No such module "citation/CS1".

Βιβλιογραφία[επεξεργασία]

Λάκκης, Κωνσταντίνος (1991), Θεωρία Αριθμών, Ζήτη

This article "Ιδεώδες (μαθηματικά)" is from Wikipedia. The list of its authors can be seen in its historical and/or the page Edithistory:Ιδεώδες (μαθηματικά). Articles copied from Draft Namespace on Wikipedia could be seen on the Draft Namespace of Wikipedia and not main one.